h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een inktvlek in een rooster
       

Stel we hebben een vierkant rooster met zijden van 1.
Verder hebben we een willekeurige vorm met oppervlakte kleiner dan 1.
Bewijs dat we deze vorm dan altijd in het rooster kunnen leggen z, dat geen enkel roosterpunt binnen de vorm ligt.

     
Hiernaast zie je dat in de bovenste figuur drie roosterpunten binnen de inktvlek liggen, maar door handig te verschuiven is dat in de onderste figuur geen n roosterpunt meer.
De stelling hierboven zegt dat dat altijd mogelijk is!
Hoe is dat in te zien?
Door voor een willekeurige vorm een rooster te construeren!

STAP 1.
Leg de willekeurige vorm zomaar op een rooster en knip de roostervierkanten uit.

       

       
STAP 2.
Leg deze vierkanten over elkaar heen en bekijk het bovenaanzicht. Als je alle bovenaanzichten over elkaar heen legt is er zeker een punt te vinden dat niet binnen de vlek ligt immers de totale oppervlakte van de vlek was kleiner dan 1.

Noem dat punt P.

Prik een verticale lijn in punt P door de stapel vierkanten.
Haal vervolgens de stapel weer uit elkaar; dan zit er in elk vierkant een gaatje bij punt P.

Leg nu de vierkanten terug in hun oorspronkelijke rooster.
Verbind tenslotte de gaatjes met elkaar. Dat geeft een nieuw rooster van even grote vierkanten waarvan geen enkel roosterpunt binnen de inktvlek ligt:

       

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)