© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Implicaties.
       
Laten we om te beginnen een varkentje aan het woord laten:
       

       
Tja, daar is iets duidelijk mis gegaan. Sommige snoepjes hebben misschien wel de vórm van een varkentje, maar het zijn toch echt geen varkentjes. Wat doet ons varkentje fout?

Nou hij begint met de bewering "alle varkentjes zijn roze".  En dat is hetzelfde als de bewering:  "als iets een varkentje is, dan is het roze". Laten we dat in symbolen zetten....
noem p1 = "dit is een varkentje",  en  p2 = "dit is roze", dan zegt de bewering van het varkentje dus:  p1 ⇒ p2
       

 p1 ⇒ p2

       
Het varkentje maakt daarvan:  "als iets roze is, dan is het een varkentje" ofwel:   p2 ⇒ p1 :  hij draait het gewoon om!
Aan de waarheidstabellen kun je dat natuurlijk meteen zien: die zijn niet gelijk. Kijk maar:
       

       
Vergelijk:  "Als het morgen regent dan blijf ik binnen"  met  "Als ik morgen binnen blijf, dan regent het". Deze beweringen zijn duidelijk niet gelijkwaardig, want als dat wel zo was, dan zou ik door binnen te blijven het morgen kunnen laten regenen!!
In het varkentjesgeval zou ik door iets roze te verven het in een varken kunnen veranderen!

Hoe moet het dan wél?

"Als het morgen regent dan blijf ik binnen" is wél gelijkwaardig met:  "Als ik morgen niet binnen blijf, dan regent het niet"  Logisch genoteerd:  ¬ p2  ⇒ ¬ p1.
In het varkentjesgeval zou dat opleveren:   "Als iets niet roze is, dan is het geen varkentje", en dat klopt weer wél.
Conclusie: 
       
je mag een implicatiepijl omdraaien  als je voor beide kanten "niet" zet
of:

  (p1  ⇒  p2)  ⇔  (¬ p2  ⇒ ¬ p1)

       
In dit laatste blokje staat dus weer een tautologie; een bewering die altijd waar is.
Met waarheidstabellen kun je uiteraard direct aantonen dat dit klopt. Hieronder zie je in het midden alle mogelijkheden voor p1 en p2 en aan de linkerkant de formule  p1  ⇒  p2 uitgewerkt en aan de rechterkant de formule ¬ p2  ⇒ ¬ p1
Een mogelijke volgorde van invullen staat weer onder de kolommen, net als in de vorige les.  De resultaten in de blokken zijn inderdaad precies gelijk.
       

       
Maar goed, ook voor de allerbeste logicus ooit waren dit soort redeneringen te moeilijk!!!
WAAAAAT??? Zul je zeggen? Beheerste Frege deze elementaire logica-materie niet? Of Gödel misschien? Nee... niet zeggen... was het dan Russell???
Nee, natuurlijk niet! Je mist dan de allerbeste logicus van deze eeuw. 

Zonder twijfel is dat natuurljk..... Mister Spock!!!!
Je zult het niet geloven, maar ook deze Vulcan maakte dezelfde elementaire logica-fout als het varkentje hierboven. 
In een episode van STAR TREK was de Enterprise geraakt door een ionenstorm, en de motoren waren uitgevallen. De volgende twee plaatjes speelden zich vervolgens af tussen captain Kirk en Mr.Spock. Eerst als de motoren uit zijn, daarna als de motoren even later weer aan gaan. Kijk en huiver.....
       

       

Brrrrr! Als de beste Logicus ooit zo'n elementaire fout maakt dan kun je het ons gewone stervelingen natuurlijk ook niet kwalijk nemen! Mr. Spock draait hier zomaar een bewering Als p1 dan p2  om in Als p2 dan p1!
Spock zou, als de motoren NIET aan zouden gaan, hoogstens kunnen concluderen dat  Scotty er NIET is.

Bewijzen uit het ongerijmde.

Deze "omkering-met-NIET-ervoor"  geeft ineens de mogelijkheid een bewering te bewijzen. Stel dat ik bewering A wil bewijzen. Dan laat ik zien dat uit ¬A een foute bewering volgt.
¬A ⇒ B  is immers gelijkwaardig met  ¬B ⇒ ¬ ¬ A = A. Dus als ik zeker weet dat B fout is, dan is ¬B waar, en dus A ook. Ik heb zo'n redenering hierboven als stiekem gebruikt, nl. bij het tegenvoorbeeld hierboven ("Deze beweringen zijn...") en je geloofde het direct natuurlijk!

Een bewijs uit het ongerijmde klinkt altijd als volgt:

"Stel dat bewering A NIET waar zou zijn. Dan volgt daar B uit. Maar omdat we van B weten dat het niet waar is, moet A dus wel waar zijn".
Meer erover kun je in deze les uit de bewijzenserie lezen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)