h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hardy - Weinberg  Evenwichten.
       
Eerst maar even een stukje biologie:

DNA
Je DNA is wat er aan erfelijk materiaal in de kernen van je cellen zit.  

CHROMOSOOM
Een chromosoom is een DNA-molecuul.

GEN.
Een gen is een stukje DNA dat verantwoordelijk is voor een bepaalde eigenschap. Nou bestaat zo'n stukje gen eigenlijk uit twee delen (allelen) waarvan er ntje afkomstig is van de vader, en eentje van de moeder.  Samen  noemen we die twee allelen het genotype van een individu (simpelweg:  "hoe het er van binnen uitziet"), en dat genotype bepaalt het  fenotype van het individu (simpelweg:  "hoe het er van buiten uit ziet").

Laten we als voorbeeld nemen het stukje DNA  (het gen) dat bepaalt of je krullend haar hebt of steil haar.  De eigenschap K noemen we krullend haar, en de eigenschap k noemen we niet-krullend.  Het haarkrul-gen kan er dus uitzien als  KK of K of kk. Bij gelijkspel  (Kk) is het allel K de winnaar  (die noemen we dominantk heet recessief).  Dus een persoon met Kk  heeft ook krullend haar. 

De monnik Georg Mendel  ontdekte bij kruising van erwtenplanten dat bij voortplanting elk individu n allel van zijn vader krijgt en n van zijn moeder. Die twee samen bepalen hoe deze nakomeling er uit gaat zien.

Voorbeeld:  
Stel dat allemaal vaders met KK en allemaal moeders met kk  een boel kinderen krijgen.
Dan geldt voor elk van die kinderen de volgende tabel met mogelijkheden:

       
  vader
K K

moeder

k Kk Kk
k Kk Kk
       
Je ziet dat in dat geval alle kinderen Kk  zijn, dus er allemaal krullend haar hebben.
Maar kijk naar de volgende generatie van al deze Kk kinderen, als die de ouders worden. Dan ziet het er z uit
       
  vader
K k

moeder

K KK Kk
k kK kk
       
Je ziet dat nu driekwart van de kleinkinderen krullend haar zullen hebben  (Kk en kK en KK)  en  n kwart niet (kk).
       
Eerst nu eindelijk (eindelijk) een stukje wiskunde:
       
Stel dat we een enorme groep individuen hebben waarvan we weten dat de kans op het allel K gelijk is aan p en het allel k op 1 - p.  Neem verder aan dat die allelenverdeling  voor mannetjes en vrouwtjes gelijk is. Hoe is het dan met de volgende generatie?
Dat zie je in de volgende twee tabellen.  De linkertabel geeft de genotypen aan (zelfde tabel als hierboven), de rechter tabel geeft de kansen erop:
       

genotypen

vader
K k

moeder

K KK Kk
k kK kk

kansen

vader
p 1 - p

moeder

p p2 p(1 - p)
1 - p (1 - p)p (1 - p)2
       
Van tweede generatie zal er dus z uitzien:

p2 
2p(1 - p)
(1 - p)2

heeft genotype KK
heeft genotype  Kk
heeft genotype  kk 
en dus krullend haar
en dus krullend haar
en dus steil haar.
       
Voorbeeld 1.
Stel dat de allelen  de verdeling  K = 20%  en  k = 80% hebben, dan is  (1 - p)2 =  0,82 = 0,64   dus zal in de volgende generaties  64% steil haar hebben en dus 36% krullend haar.

Voorbeeld 2.
Als in een populatie  65%  krullend haar heeft en 35% steil haar, dan zal gelden  (1 - p)2 = 0,35  dus  p =  0,41 dus zal 41% van de allelen de eigenschap krullend haar hebben.

Hier heb je de bijbehorende  krullend-haar grafiek   (y = 1 - (1 - x)2  = x2 - 2x):
       

       
Hoe is met de verdeling van de allelen in de tweede generatie?

KK is  fractie p2 , Kk is fractie 2p(1 - p)

Dus er zijn nu  2p2 + 2p(1 - p)   K's
Omdat we ze allemaal dubbel tellen is dat een fractie  p2 + p(1 - p) = p
Dat is uiteraard nog steeds gelijk aan p. Gelukkig maar.  De fractie p van vader verdeelt zich immers naar verhouding over p en 1 - p van moeder (en andersom). Dat moet wel weer fractie p opleveren bij de kinderen.
Kortom:  onder deze voorwaarden blijft de "allelenpoel"  gelijk.
       

De drie genotypen zullen dan in de verhoudingen voorkomen (afhankelijk van p) die je hiernaast ziet.

De rode en groene grafiek zijn de krullend-haar fenotypen, de blauwe grafiek zijn de steile-haar types.

Gevallen waarin de typen in deze verhoudingen voorkomen heten Hardy-Weinberg - evenwichten.
 
       
Natuurlijke Selectie.
       
Interessanter wordt het als er geen evenwicht meer is  (vooral wiskundig interessanter).
Dat is bijvoorbeeld zo als we  natuurlijke selectie gaan toevoegen. 

Neem het extreme geval dat alle kk-exemplaren  zich niet kunnen voortplanten ('t zijn gewoon sukkeltjes waar niemand wat mee te maken wil hebben zodat ze zich niet voortplanten, of ze zijn zo dom dat ze direct door roofdieren worden opgegeten).

Dat betekent dat die fractie  kk  met aantal  (1 - p)2  wordt weggehaald uit de populatie.
Dan blijft over:
       

p2 
2p(1 - p)

heeft genotype KK
heeft genotype  Kk
en dus krullend haar:  dat zijn  2p2 allelen K
en dus krullend haar:  dat zijn  2p(1 - p) allelen K
       
Dus er zijn in totaal nu in de volgende generatie  2p2 + 2p(1 - p)   K-allelen aanwezig.
En nu is de gehele allelen-hoeveelheid   2(1  - (1 - p)2)  want die kk zijn immers afgevallen en dat waren er  (1 - p)2
Voor de nieuwe fractie pnieuw van K  geldt dan:
       

       
Hier zie je op de GR hoe de fractie p  (met gekozen beginwaarde 0,5)  toeneemt en nadert naar 1:
       

       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)