vergelijkingen met exponenten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Exponentiële Vergelijkingen.
- een overzicht -

Als je een vergelijking met exponenten (dat zijn simpel gezegd "x-en in de lucht") moet oplossen dan zijn er eigenlijk drie mogelijke basisstrategieën waar je uit kunt kiezen.

Strategie 1: Probeer de vergelijking te veranderen in: g^□ = Δ

In dat blokje en dat driehoekje mag van alles staan.
Deze methode komt er eigenlijk op neer dat je eerst het deel met de exponent alleen probeert te zetten.

Meestal zal dat gaan met de balansmethode, en af en toe heb je de rekenregels voor machten hiernaast daarbij nodig

Als dat eenmaal gelukt is, dan kun je de exponenten uit je vergelijking laten verdwijnen met:

g^a • g^b = g^a^{+ b}
(g^a)^b = g^a•b
g^-a = ¹/_g^a √g =g^0,5
p^a • q^a = (pq)^a

g^□ = Δ ⇒ □ =^logΔ/_logg

Voorbeeld. Los op: 2 • 3^{x - 4} + 18 = 100
2 • 3^{x - 4} = 82
3^{x - 4} = 41
x - 4 = ^log41/_log3 = 3,38
x = 7,38

Strategie 2: Probeer de vergelijking te veranderen in: g^□ = g^Δ

Voor het omschrijven naar deze vorm zul je vaak weer de rekenregels voor machten die hierboven staan nodig hebben.

Deze strategie lukt niet zo heel vaak, maar áls het lukt gaat het ook erg makkelijk. Bedenk twee dingen goed:
• de g's moeten hetzelfde zijn.
• er mag aan beide kanten nog maar één g^□ staan.

Nou, als dat eenmaal gelukt is dan mag je die machten gewoon weglaten:

g^□ = g^Δ ⇒ □ = Δ

Voorbeeld. Los op: 2 • 2^x = 4 • 8^x
Probeer er machten van 2 van te maken (neem g = 2) want die grondtallen 2, 4 en 8 zijn "allemaal iets met 2"
2¹ • 2^x = 2² • (2³)^x
2^{1 + x} = 2² • 2^3x
2^{1 + x} = 2^{2 + 3x}
En nou is het gelukt en kun je machten weglaten: 1 + x = 2 + 3x geeft eenvoudig x = -0,5

Strategie 3: Substitutie.

Soms komt er in een vergelijking een aantal keer hetzelfde "stukje" voor, waar de x-en in zitten. Als dat zo is, dan is het vaak handig om dat herhalende "stukje" even een nieuwe letter te geven (ik gebruik meestal de p). Daar wordt zo'n vergelijking dan meestal een stuk simpeler van.
Klinkt misschien nogal vaag allemaal; ik hoop dat een voorbeeld duidelijk zal maken wat ik bedoel:

Voorbeeld: Los op:    2 • 3^x - 29 = 3^x-⁵⁴/₃x
De x staat elke keer in het stukje 3^x
Laten we dat stukje p noemen, dan staat er:   2p - 29 = p - ⁵⁴/_p
Vermenigvuldig met p:   2p² - 29p = p² - 54
p² - 29p + 54 = 0
(p - 27)(p - 2) = 0
p = 27 ∨ p = 2
Maar die p was natuurlijk eigenlijk 3^x dus dat geeft 3^x = 27 ∨ 3^x = 2
3^x = 27 geeft x = 3 en   3^x = 2 geeft x = ^log2/_log3 = 0,63

Laten we voor de grap eens één vergelijking op alle drie de manieren oplossen. Misschien ben je normaal al blij en tevreden als je één manier weet te vinden, maar kom op!
Het is natuurlijk ook gewoon FUN om te zien hoe drie verschillende methodes toch tot één antwoord leiden!!!
Bovendien zie je dan meteen nog eens duidelijk het verschil in aanpak.....

Los op: 9^x • √3 = 3 • 3^x

strategie 1.	strategie 2	strategie 3

(3²)^x • √3 = 3 • 3^x 3^2x = 3/√3 • 3^x 3^2x / 3^x = ³/_√3 3^{2x - x} = √3 3^x = √3 x = ^log(√3)/_log(3) = ¹/₂	(3²)^x • 3^0,5 = 3¹ • 3^x3^2x • 3^0,5 = 3^{1 + x}3^{2x +0,5} = 3^{1 + x} 2x + 0,5 = 1 + x x = ¹/₂	(3^x)² • √3 = 3 • 3^x p² • √3 = 3p p² • √3 - 3p = 0 p(p√3 - 3) = 0 p = 0 ∨ p = ³/_√3 = √3 3^x = 0 ∨ 3^x = √3 (geen oplossing) ∨ x = ¹/₂