drievoudige integralen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Drievoudige integralen.

Als je eenmaal het hele verhaal van de dubbelintegralen hebt begrepen dan zal deze les niet veel spectaculair nieuws bieden.
We gaan gewoon nog een dimensie verder.

Dat betekent dat de functie die we nu bekijken er eentje is van 3 variabelen: f(x, y, z)
Dat betekent ook dat het gebied waarover we integreren nu een 3D gebied is.

Dat betekent helaas ook dat we moeilijk een tekening kunnen maken: als je bij elk punt van een 3D gebied een functiewaarde wilt tekenen heb je een vierde dimensie nodig!! Dat gaat niet lukken!!!

We zullen alles gewoon zoveel mogelijk analoog aan de dubbelintegralen moeten uitvoeren. Er zit niets anders op.....

Het integratiegebied is dus driedimensionaal. Laten we eerst de simpelste variant bekijken: een balk.
a ≤ x ≤ b en c ≤ y ≤ d en   e ≤ z ≤ f   zie de figuur hiernaast.

Die rode balk is ons integratiegebied, en dat gaan we verdelen in allemaal superkleine blauwe balkjes van Δx bij Δy bij Δz.

Voor elk van die blauwe balkjes berekenen we de functiewaarde f(x, y, z) die we nu niet kunnen tekenen omdat dat een vierde dimensie zou vragen. En daarna tellen we al die functiewaarden bij elkaar op, en vermenigvuldigen die met de inhoud   Δx • Δy • Δz van één zo'n balkje.

Dat geeft een drievoudige integraal.

Je berekent zo'n integraal natuurlijk gewoon door hem te splitsen in drie enkele integralen. Net zoals je bij dubbelintegralen de integraal meestal splitste in twee enkele integralen.

Voorbeeld.
Bereken de integraal van de functie f(x, y, z) = x + yz op het gebied waar 0 ≤ x, y, z ≤ 1 (een kubus met ribben 1)

Daarbij is eerst over x geïntegreerd, daarna over y en tenslotte over z. Het grappige is nu dat er maar liefst zes verschillende integratievolgorden mogelijk zijn, die uiteraard allemaal op de waarde ³/₄ uitkomen.
Als illustratie zal ik er nog eentje daarvan laten zien: nu eerst over z, dan over x en tenslotte over y integreren:

Andere integratiegebieden.

Als het integratiegebied niet netjes een balk is, maar één of ander ander lichaam, dan is het vaak de moeite waard om eerst even rustig te beslissen in welke volgorde je gaat integreren (net als bij de dubbelintegralen al het geval was). Maak in iedere geval altijd even een schets van het integratiegebied om duidelijk te zien "wat er aan de hand is".
Laten we maar een voorbeeldje doen op verschillende manieren...

Uitgebreid Voorbeeld.
Integreer een functie f(x, y, z)
over het gebied waarvoor y ≥ x² + z² en y ≤ 4

Oké, probleem 1 is "Hoe ziet dat gebied er uit?"
y = x² + z² is een paraboloïde met als as de y-as, en y = 4 is een vlak evenwijdig aan de x-as en z-as. Het gebied ziet er daarom uit als hiernaast.

Dan komt probleem 2: in welke volgorde gaan we integreren? Met dxdy en dz zijn er zes verschillende mogelijke volgorden. Ik zal er drie van die zes voordoen zodat je het idee een beetje doorkrijgt. Om de grenzen van de integraal goed te zien is het erg handig om doorsneden en aanzichten te tekenen.

Integraal 1: Eerst y, dan x, dan z.

Bekijk de doorsnede van de paraboloïde met een horizontaal vlak (blauw). Teken daarin lijnstukken in de y-richting (groen).

We gaan nu f eerst integreren langs één zo'n lijnstuk. Verdeel het in allemaal; stukjes dy en tel al die functiewaarden bij elkaar op (met een integraal natuurlijk).
Bedenk goed dat de plaats van zo'n lijnstuk afhangt van x en z, dus je krijgt een integraal L(x, z). Bedenk verder dat de grenzen van y afhangen van x en z.
Omdat x² + z² = y op de paraboloïde zijn de grenzen dus y = x² + z² (linkerkant) en y = 4 (rechterkant)

Als je vervolgens het rechter-zijaanzicht bekijkt krijg je de middelste figuur. Die groene rondjes zijn de uiteinden van die lijnstukjes dus voor elk groen rondje kunnen we de integraal L(x, z) berekenen.
We gaan nu de som van al die L berekenen in horizontale richting (stukjes dx). Samen geeft dat de integraal van f over één zo'n blauw vlak (nog afhankelijk van z), dus V(z). De x-grenzen hangen nu af van z. In het rechteraanzicht (y = 0) geldt voor de grenzen x² + z² = 4 dus x varieert tussen x = -√(4 - z²) en x = √(4 - z²)

Tenslotte moet je de waarden van f over al die blauwe vlakken V nog bij elkaar optellen (stukjes dz) om de totale integraal I over de hele paraboloïde te krijgen. De z-grenzen zijn nu z = - 2 en z = 2, niet meer afhankelijk van andere variabelen.

Samen geeft dat de totale integraal I midden onder de figuur.

Laten we de eenvoudigste functie die ik ken, f(x, y, z) = 1 uitrekenen.

Integraal 2: Eerst y, dan z, dan x.

Bekijk de doorsnede van de paraboloïde met een verticaal vlak (bruin). Teken daarin lijnstukken in de x-richting (blauw).

We gaan nu f eerst integreren langs één zo'n lijnstuk. Verdeel het in allemaal stukjes dx en tel al die functiewaarden bij elkaar op (met een integraal natuurlijk).
Bedenk goed dat de plaats van zo'n lijnstuk afhangt van y en z, dus je krijgt een integraal L(y, z). Bedenk verder dat de grenzen van x afhangen van y en z.
Omdat x² + z² = y op de paraboloïde zijn de grenzen dus x = -√(y - z²) (achter) en x = √(y - z²) (voor)
Als je vervolgens het vooraanzicht bekijkt krijg je de middelste figuur. Die blauwe rondjes zijn de uiteinden van die lijnstukjes dus voor elk blauw rondje kunnen we de integraal L(y, z) berekenen.
We gaan nu de som van al die L berekenen in verticale richting (stukjes dz). Samen geeft dat de integraal van f over één zo'n bruin vlak (nog afhankelijk van y), dus V(y). De z-grenzen hangen nu af van y. In het vooraanzicht (x = 0) geldt voor de grenzen y = z² dus z varieert tussen z = -√y en z = √y

Tenslotte moet je de waarden van f over al die bruine vlakken V nog bij elkaar optellen (stukjes dy) om de totale integraal I over de hele paraboloïde te krijgen. De y-grenzen zijn nu y = 0 en y = 4, niet meer afhankelijk van andere variabelen.

Samen geeft dat de totale integraal I midden onder de figuur.

Integraal 3: Eerst z, dan y, dan x.

Bekijk de doorsnede van de paraboloïde met een verticaal vlak (groen). Teken daarin lijnstukken in de z-richting (bruin).

We gaan nu f eerst integreren langs één zo'n lijnstuk. Verdeel het in allemaal; stukjes dz en tel al die functiewaarden bij elkaar op (met een integraal natuurlijk).
Bedenk goed dat de plaats van zo'n lijnstuk afhangt van x en y, dus je krijgt een integraal L(x, y). Bedenk verder dat de grenzen van z afhangen van x en y.
Omdat x² + z² = y op de paraboloïde zijn de grenzen dus z = -√(y - x²) (onder) en z = √(y - x²) (boven)

Als je vervolgens het bovenaanzicht bekijkt krijg je de middelste figuur. Die bruine rondjes zijn de uiteinden van die lijnstukjes dus voor elk bruin rondje kunnen we de integraal L(x, y) berekenen.
We gaan nu de som van al die L berekenen in horizontale richting (stukjes dy). Samen geeft dat de integraal van f over één zo'n groen vlak (nog afhankelijk van x), dus V(x). De y-grenzen hangen nu af van x. In het bovenaanzicht (z = 0) geldt voor de grenslijn x² = y dus y varieert tussen y = x² en y = 4.

Tenslotte moet je de waarden van f over al die groene vlakken V nog bij elkaar optellen (stukjes dx) om de totale integraal I over de hele paraboloïde te krijgen. De x-grenzen zijn nu x = - 2 en x = 2, niet meer afhankelijk van andere variabelen.

Samen geeft dat de totale integraal I midden onder de figuur.

Let nog even op die grenzen (in het algemeen):

eerste integraal:	twee variabelen in de grenzen (hoogstens)
tweede integraal:	één variabele in de grenzen (hoogstens)
derde integraal:	constante grenzen.

Rode draad:

Alhoewel het in dit voorbeeld er vooral om ging dat je snapt hoe je zo'n integraal opstelt, zal ik nog even laten zien wat die integralen nou worden. Vooral om duidelijk te maken dat ze nogal verschillend kunnen zijn.
Laten we de eenvoudige functie f(x, y , z) = 1 nemen en kijken wat de bovenstaande drie methoden voor integralen opleveren (ik heb af en toe wel wat tussenstappen met haakjes wegwerken en zo weggelaten):

Integraal 1:

Integraal 2:

Integraal 3:

Nee maar! Onverwacht toch nog een toepassing!!

Als je neemt f(x, y, z) = 1 en dan de drievoudige integraal over lichaam L uitrekent, dan bepaal je natuurlijk gewoon de inhoud van L! Je telt immers elk ruimtedeel "1" keer mee? Die 25,13.... was gewoon de inhoud van dat paraboloïde-deel van het vorige voorbeeld:

Als je die paraboloïde ziet als een verzameling cirkelschijfjes (dikte dy) met straal r = √y dan is de inhoud van één zo'n schijfje dI = π • r² = π • y
Voor de hele inhoud integreren van y = 0 tot y = 4: ∫πydy = [¹/₂πy²] = ¹/₂π • 16 - 0 = 8π = 25,1327....
Het was al die tijd gewoon 8π!!!

Maar dat idee om voor f = 1 te nemen kunnen we dan natuurlijk altijd gebruiken om de inhoud van een lichaam uit te rekenen. Neem het tetraëder met als hoekpunten (0, 0, 4) en (6, 1, 0) en (2, 3, 0) en (0, 0, 0). Natuurlijk kun je daar de inhoud best met "normale" technieken van berekenen, maar laten we het voor de grap eens met een drievoudige integraal proberen...

De bruine lijnstukjes in de figuur links lopen van z = 0 tot aan het schuine voorvlak van de tetraëder.
De bodemlijn in het Oxy-vlak gaat door (6, 1) en (2, 3) en is de lijn y = -¹/₂x + 4 ofwel 2y + x = 8
Dat voorvlak gaat door (0, 0, 4) en is het vlak x + 2y + 2z = 8 dus z loopt van 0 tot 4 - y - ¹/₂x
Integreren langs zo'n lijntje van de functie f = 1 geeft:

Daarna gaan we naar het bovenaanzicht rechts. We willen nu integreren over y om alle lijntjes in het groene vlak op te tellen.
Dat moet in twee delen, want voor 0 < x < 2 zijn de grenzen anders dan voor 2 < x < 6
De lijn door (0, 0) en (2,3) heeft vergelijking y = ³/₂x en de lijn door (0,0) en (6,1) heeft vergelijking y = ¹/₆x
Bovenaan loopt y dus van ¹/₆x tot ³/₂x
Onderaan in de figuur loopt y van ¹/₆x tot -¹/₂x + 4
Dat geeft twee integralen:

Om de V₁-vlakken samen te nemen moeten we integreren van x = 0 tot x = 2
Om de V₂-vlakken samen te nemen moeten we integreren van x = 2 tot x = 6.

De totale inhoud wordt daarmee ¹⁶⁰/₂₇ + ¹²⁸/₂₇ = 10²/₃

Oké, ik geef toe: hiernaast zie je dat het grondvlak van de tetraëder oppervlakte 8 heeft, en omdat de hoogte 4 is, is de inhoud ¹/₃ • 4 • 8 = 10²/₃

Maar toch mooi dat we dat vanaf nu in principe ook met drievoudige integralen kunnen berekenen toch?

OPGAVEN

Bereken de integraal van de functie f(x, y, z) = x²yz over de balk 0 ≤ x ≤ 2 en 1 ≤ y ≤ 2 en -1 ≤ z ≤ 3

Bereken de volgende drievoudige integralen:

²⁰⁴⁸/₁₅

⁸/₃

¹/₁₂e -^1/₁₂

Schrijf de integralen van een functie f over de volgende lichamen als een drievoudige integraal.

Het getekende lichaam, ingesloten door
x²- y +z²= 0, z = 0 en y = 4

Het blauwe lichaam hiernaast dat ontstaat door een cilinder (hoogte 4, straal grondvlak 2) te doorsnijden met een plat vlak.

Controleer vervolgens met je GR dat de inhoud van het blauwe lichaam, berekend met een drievoudige integraal, inderdaad zoals verwacht precies de helft van de cilinder is.

Maak een schets van het gebied dat hoort bij de volgende drievoudige integraal: