lineaire deelruimte

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Lineaire Deelruimte.

Stel dat V een vectorruimte is (met dus een optelling en een scalaire vermenigvuldiging, en met die 8 axioma's van de vorige les).
Dan is D een lineaire deelruimte als D voldoet aan de volgende eigenschappen:

1. NUL zit in D
2. D is gesloten onder de optelling
3. D is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging

"Gesloten onder een bewerking" betekent dat je niet uit de verzameling kunt "ontsnappen" met die bewerking. Dus de tweede regel zegt dat twee dingen uit D bij elkaar opgeteld altijd weer een nieuw ding uit D geven. Door optellen kun je niet uit D ontsnappen.
En regel 3 zegt dat je door een ding uit D met een getal te vermenigvuldigen, altijd weer een ding uit D krijgt.

Nou is er een superhandige stelling die het volgende zegt:

Een lineaire deelruimte is een vectorruimte

Het bewijs daarvan.....

Voor het bewijs zijn eerst een paar kleine hulpstellinkjes (ook wel lemma's genoemd) nodig.

•

Lemma 1: er is maar één NUL.
bewijs:

Stel dat er twee NULLEN zijn, 0_a en 0_b
u + 0_b = u voor elke u dus ook voor u = 0_a dus 0_a+ 0_b = 0_a
u + 0_a = u voor elke u dus ook voor u = 0_b, dus 0_b + 0_a = 0_b
maar dan volgt uit axioma 1 voor vectorruimten (u + v = v + u) uit het bovenstaande dat 0_a = 0_b

•

Lemma 2: er is bij elke u maar één tegengestelde -u
bewijs:

Stel dat u + a = 0 en ook u + b = 0
Dan is b = b + 0 = b + (u + a) = (b + u ) + a = 0 + a = a
Dus b = a = -u

•

Lemma 3: 0 • u = 0 (die eerste 0 is het getal 0, die tweede 0 is de vector 0)
bewijs:

0 • u + 0 • u = (0 + 0) • u = 0 • u
Tel nu bij beide kanten -0 • u op, dat geeft:
(0 • u + 0 • u) + -0 • u = 0 • u + -0 • u = 0
maar ook (0 • u + 0 • u) + -0 • u = 0 • u + (0 • u + -0 • u) = 0 • u + 0 = 0 • u
Dus is 0 • u = 0

•

Lemma 4: -1 • u = -u
bewijs:

-1 • u + u = -1 • u + 1 • u = (-1 + 1) • u = 0 • u = 0 (volgens lemma 3)
dus -1 • u is de tegengestelde van u en volgens lemma 2 is er daar maar eentje van.

Oké, daarmee is het gereedschap om de stelling te bewijzen klaar. Het bewijs gaat nu zó:

De axioma's 1, 2 en 5, 6, 7, 8 volgens uit de eigenschappen van V
Axioma 3 volgt uit het feit dat 0 in W zit.
Als u in D zit, dan zit ook -1 • u in D en met lemma's 3 en 4 volgt dan
dat -1 • u + u = 0 dus heeft u een tegengestelde -1 • u in D.
Daarmee is axioma 4 bewezen.
Alle acht de axioma's gelden voor D, dus is D een vectorruimte.

q.e.d.

Een paar toepassingen.

Stel dat A de één of andere willekeurige m × n matrix is.
Dan vormen alle vectoren v (met n kentallen) waarvoor geldt A • v = 0 een vectorruimte.

Om dat te bewijzen hoeven we alleen maar de drie eigenschapen van de lineaire deelruimte te bewijzen, immers alle vectoren met n kentallen (Rⁿ) zijn een vectorruimte, dat is al bekend. Nou die drie te bewijzen is een makkie:

eigenschap 1: A • 0 = 0 dus 0 zit in D
eigenschap 2: Als Ax = 0 en Ay = 0 dan is A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 dus zit x + y ook in D
eigenschap 3: Als Ax = 0 dan is A(cx) = cAx = c • 0 = 0 dus zit cx ook in D

Alle functies die voldoen aan de differentiaalvergelijking y'' + y' = 0 vormen een vectorruimte.

De verzameling van alle functie van R naar R is een vectorruimte, dus we hoeven weer alleen de drie eigenschappen van de lineaire deelruimte aan te tonen.
Nou, daar gaan we weer:

eigenschap 1: y = 0 voldoet duidelijk aan de differentiaalvergelijking en zit dus in D.
eigenschap 2: als y₁'' + y₁' = 0 en ook y₂'' + y₂'= 0
dan is (y₁ + y₂)'' + (y₁ + y₂)' = y₁'' + y₂'' + y₁' + y₂' = (y₁'' + y₁') + (y₂'' + y₂') = 0 + 0 = 0
dus zit y₁ + y₂ ook in D.
eigenschap 3: als y'' + y' = 0, dan is (cy)'' + (cy)' = cy'' + cy' = c(y'' + y') = c • 0 = 0 dus zit cy ook in D

Belangrijke meetkundige toepassing.
R³ is de verzameling van alle vectoren met drie kentallen.
Kies een aantal van die vectoren, bijv. {v₁, v₂, ..., v_n}
Een lineaire combinatie van die vectoren is een nieuwe vector die geschreven kan worden als
w = c₁ • v₁ + c₂ • v₂ + ... + c_n • v_n. (met c_i willekeurige getallen)
Dan is de verzameling van alle mogelijk vectoren w een vectorruimte.

eigenschap 1:   neem c₁ = c₂ = ... = c_n = 0, dan krijg je de nulvector van R³
eigenschap 2:   w₁ = a₁v₁ + a₂v₂ + .... + a_nv_n en   w₂ = b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n
dat geeft w₁ + w₂ = (a₁ + b₁)v₁ + (a₂ + b₂)v₂ + ... + (a_n + b_n)v_n en die zit dus ook in D
eigenschap 3:   w = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n
geeft cw = ca₁v₁ + ca₂v₂ + ... + ca_nv_n = (ca₁)v₁ + (ca₂)v₂ + ... + (ca_n)v_n en die zit dus ook in D

OPGAVEN

Dit zijn een paar zogenaamde Fibonacci-rijtjes:
{2, 4, 6, 10, 16, ....} en {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} en {5, 0, 5, 5, 10, 15, ...}
Kortom het zijn rijtjes van de vorm {a₁, a₂, a₃, ....} waarbij a_n = a_n_-1 + a_{n -}₂Laat zien dat de verzameling van alle Fibbonacci-rijtjes een vectorruimte is.

Een magisch vierkant is een vierkant waarvoor geldt dat de som van de rijen en kolommen en de twee diagonalen elke keer hetzelfde resultaat oplevert. Hier zie je drie 4 × 4 magische vierkanten:

Een n × n magisch vierkant kun je natuurlijk gewoon beschouwen als een n × n matrix.

Toon aan dat de verzameling van n × n matrices van magische vierkanten een vectorruimte is.

Die derde hierboven is een hele speciale want daarin staan precies de getallen 1 tm 16. De deelverzameling van zulke speciale magische vierkanten is géén vectorruimte.

Welk van de drie eigenschappen van de deelruimte D gelden niet voor deze deelruimte?

Als D₁ en D₂ twee deelruimten van V zijn, dan is D₁ ∩ D₂ dat ook.
Toon dat aan.

Neem de differentiaalvergelijking y'' + 7y = 0
Stel dat S de verzameling is van alle functies die voldoen aan deze differentiaalvergelijking.
Toon aan dat S geen vectorruimte is.