© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Naaldproef van Buffon.
   
De Franse wiskundige George Louis Leclerc Comte de Buffon verzon een heel simpele en vooral "tastbare" manier om het getal π te benaderen......

Laten we met een eenvoudig verhaaltje beginnen....
 

Stel je voor dat er op het schoolplein met krijt allemaal evenwijdige lijnen zijn getrokken op afstand 10 cm van elkaar.

Het is 5 december.
Sinterklaas komt op bezoek. Zijn pieten strooien echter niet alleen lekker snoepgoed, maar ze strooien daarbij ook allemaal uiterst dunne naalden met lengte 10 cm. Sommige naalden vallen in hun geheel tussen twee krijtstrepen, andere naalden raken een krijtstreep.
Niemand lust die naalden, dus iedereen laat ze liggen. Het snoep wordt uiteraard opgegeten.

Helaas had jij die dag strafcorvee, en je moet van de conciërge na afloop alle naalden van het plein oprapen. Hij geeft je verder de stomme opdracht mee om te tellen hoeveel procent van de naalden een krijtstreep raakt.

Je hebt echter geen zin in die flauwekul, dus na afloop gok je zomaar "Hier zijn de naalden, ehh het was 50%".
De conciërge wordt woedend. "Welnee, oplichter, dan zou π gelijk zijn aan 4!!!"

Betrapt!

Hoe komt hij daarbij?
   
Hiernaast staat de situatie getekend van een naald tussen twee krijtstrepen die een streep nét raakt.
Het middelpunt van de naald ligt op afstand s van het midden tussen de krijtstrepen.
Voor de hoek φ geldt:
 
Nu moeten we nog middelen voor s tussen 0 en 5:

De factor 1/5 is nodig om te delen door de totale lengte van het lijnstuk waarover gemiddeld wordt.
(Het verhaal hierboven kun je ook volgen voor lijnen met afstand L en naalden van lengte L; de kans blijft gelijk)
Conclusie: het percentage moest eigenlijk 63,66... zijn.

Dit geeft, mits je een betrouwbare naaldenopraper hebt, dus een mooie experimentele manier om π te bepalen!
50% die een lijn raakt zou geven  2/π = 0,5  dus  π = 4!!!

   
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)