Grotere en Kleinere Complexe getallen.
Groter, kleiner, ach het was eens allemaal zo makkelijk in de reële wereld.
2 < 3 en  5 > 2 en 6 = 6  en....
er gelden een paar simpele, eenvoudige regeltjes:
1.  omdat 2 < 3 en 3 < 6 is ook 2 < 6
2.  omdat 2 < 3 en 4 < 5 is ook 2 + 4 < 3 + 5
3.  omdat 2 < 4  en 5 > 0  is ook 5 • 2 < 5 • 4
Wat blijft er over in de complexe wereld van dit mooie systeem?
Weinig.

Laten we een poging doen om "groter" en "kleiner" in de complexe wereld te definiëren.
een logische afspraak zou de lexicografische zijn (de volgorde in het woordenboek):

a + bi  <  c + di
als geldt  (a < c) of (a = c en  b < d)

Dat lijkt een logische afspraak. Omdat elk reëel getal  n geschreven kan worden als  n + 0i blijven alle "groter" en "kleiner" eigenschappen van de reële getallen intact.
Da's mooi.
Maar hoe zit het met "echt" complexe getallen? Laten we de simpele regeltjes van hierboven eens testen:

1. a + bi < c + di  en  c + di < e + fi  dan  is inderdaad  a + bi < e + fi
immers  als a < c  zijn we al klaar:  c £ e,  dus  a < e
ook als c < e zijn we klaar:  c ³ a dus is  zeker a < e
het overgebleven geval is a = c = e  maar dan is zeker  b < d en d < f, dus b < f
2. ook deze klopt nog, dat is eenvoudig zelf na te gaan.
3. Maar hier loopt het mis.
omdat 0 = 0 + 0i  en i = 0 + 1i  geldt dat 0 < i
let op wat er gebeurt als we beginnen met het ware  -1 < 1 en vermenigvuldigen met i:
-1 < 1  Þ  -i < i  Þ  -i2 < i2  Þ  --1 < -1  Þ  1 < -1
Je reinste flauwekul!

Het komt allemaal door de ongelijkheid  0 < i , maar het komt niet door de manier (lexicografisch) waarop we "groter dan"  hebben gedefinieerd.
Ook als zou gelden i < 0 krijgen we flauwekul als we dat veranderen in  -i > 0 en de vergelijking een paar keer met -i vermenigvuldigen:
-1 < 1   Þ  i < -i   Þ  -i2 < (-i)2  Þ  --1 < ---1  Þ  1 < -1
Zie je wel!
Het hangt dus niet af van de definitie van groter of kleiner, het komt eenvoudigweg door het vergelijken van reële met imaginaire getallen. Als we dat willen kunnen we iets eenvoudigs als eigenschap 3 niet meer accepteren!!!