de geboorte van i
De allereerste keer dat je met i kennismaakt hoor je meestal iets als   i =Φ-1   (alhoewel het iets netter is te zeggen dat i een oplossing is van de vergelijking  x2 + 1 = 0) 
De meesten die voor het eerst zoiets horen reageren met ongeloof, verbijstering of zelfs kwaadheid.
"Φ(-1), jaja, wat een flauwekul, dat kαn natuurlijk helemaal niet"
En ook na een poosje wennen aan i vinden velen het nog steeds niet een  "θcht" getal; meer een soort handige rekenmanier. Toch is dat niet zo. Het zou consequenter zijn dat iemand die zegt "Ik geloof niet in de Φ-1"  ook zou zeggen "Ik geloof niet in -1" of "Ik geloof niet in Φ2".

De aversie tegen i komt waarschijnlijk voort uit het feit dat je je bij i niets fysieks kunt voorstellen, terwijl -1 en Φ2 nog punten op de getallenlijn zijn. De grootte van -1 en Φ2 is de afstand tot het punt nul.

En toch kan dat met i net zo goed. Ik zal proberen duidelijk te maken hoe i een logische stap in onze getallenleer is.

Natuurkundigen weten dat de meeste dingen die we meten niet alleen een grootte hebben, maar ook een richting. Krachten, Snelheden, Magneetvelden,  noem maar op; ze worden allen gekenmerkt door een grootte en een richting. Zo'n grootheid noemen we een VECTOR, zeg maar gewoon een PIJL.
De getallen op onze getallenlijn hebben eigenlijk alleen een grootte; namelijk hun afstand tot het getal nul. Daarom lijkt het logisch om te gaan proberen om onze getallen door een pijl vanaf het getal nul te gaan voorstellen:

In de rechterfiguur zie je, dat het dan nodig is dat zo'n nieuw "getal"  gekenmerkt wordt door twee groottes. Onze "oude" getallen worden dan weergegeven door (a , 0).
Laten we eens kijken hou onze oude bewerkingen met de nieuwe getallen werken.
OPTELLEN lijkt me logisch: om twee pijlen bij elkaar op te tellen leg je ze gewoon achter elkaar.
Hiernaast zie je dat dan moet gelden:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
VERMENIGVULDIGEN is een stuk lastiger. Hoe vermenigvuldig je twee pijlen met elkaar?
Laten we beginnen met het vertrouwde:  ons oude 2 • 3 = 6 wordt nu  (2, 0) • (3, 0) = (6, 0)
Het lijkt erop alsof vermenigvuldigen met (a , 0) de pijl gewoon a keer zo lang maakt.

Ons oude  -1 • 4 = -4  wordt nu:  (-1, 0) • (4, 0) = (-4, 0)
Vermenigvuldigen met -1 is draaien over 180Ί.
Maar dan lijkt het logisch om vermenigvuldigen met Φ-1 gelijk te stellen aan draaien over 90Ί!!!!!!!!!
Immers dat is zoiets als "halverwege vermenigvuldigen met -1"? Als je immers twee keer doet komt het neer op vermenigvuldigen met -1.
En nu hebben we ineens de plaats van een nieuw getal.
Het oude getal Φ-1 bestond niet, maar nu bestaat wel het nieuwe getal  (0, i)

Met onze optelregel vinden we nu ook de naam van de andere punten in het vlak (zie hiernaast)

 

Hoe is het met vermenigvuldigen met een willekeurig getal?
We zagen al dat bij vermenigvuldigen met een "oud" getal de pijl een aantal keer zo lang wordt, en dat bij vermenigvuldigen met i de pijl wordt gedraaid.
Dus zal een vermenigvuldiging met een willekeurig getal wel een combinatie van  lengte van de pijl veranderen en draaien van de pijl zijn. Dat heet een DRAAIVERMENIGVULDIGING.
De hoek waarover gedraaid wordt en de factor waarmee wordt vermenigvuldigd hangen af van het getal waarmee wordt vermenigvuldigd. Laten we het zo simpel mogelijk houden, en die hoek en die factor gelijk stellen aan de hoek en de lengte van het getal waarmee wordt vermenigvuldigd.

Voorbeeld: we hebben het getal (de pijl)  (a,b) en willen dat vermenigvuldigen met getal (x, y)
Stel dat bij (a,b) een hoek a en een lengte r horen, en bij (x,y) een lengte s en een hoek b.
Dan geldt  a = r •cosa en  b = r • sina en  x = s • cos b en  y = s • sin b
Door vermenigvuldigen wordt de lengte van (a,b) dan dus met s vermenigvuldigd en bij de hoek van (a,b) wordt b opgeteld.
Dus (a,b) • (x,y) heeft hoek  a + b en lengte r • s
Het eerste kental van dit product is dan  r • s • cos (a + b) en het tweede  r • s • sin (a + b)
maar 

r • s • cos (a + b) = r • s • (cosa cosb - sina sinb) = (r cosa)•(s cosb) - (r sina)•(s sinb) = a • x - b • y
r •
s • sin(a + b) = r • s • (sin a cosb + cosa sinb) = (r cosa)•(s sinb) + (r sina)•(s cosb) = a • y + b • x

CONCLUSIE: 

(a, b) • (x, y) = (ax - by , ay + bx)
Zo. Nu kunnen we onze "nieuwe" getallen tenminste met elkaar vermenigvuldigen.
Da's prettig....

Hiernaast zie je bijvoorbeeld de vermenigvuldiging  (3 + i)•(1 + 2i) = (1 + 7i) met pijlen uitgebeeld (daarbij is nog gebruik gemaakt van  i • i = -1)
De lengte van de groene pijl is dus het product van de lengtes van de andere pijlen, en de hoek met de horizontale as is beide andere hoeken bij elkaar opgeteld.

Hoezo kunnen we ons "niets voorstellen" bij i ?

 

 
Hier kun je nog wat oefenen met berekeningen met complexe getallen:

x = + i

y = + i

z = +  i