Nieuwe pagina 1


OPGAVEN



1.	Welk punt van de lijn y = 3x - 8 heeft afstand √34 tot het punt P(2,2)

2.	Welke lijn door de oorsprong raakt de cirkel met middelpunt (4, 2) en straal 5?



OPLOSSING

1.	Cirkel met middelpunt P en straal √34: (x - 2)² + (y - 2)² = 34 Snijden met l: (x - 2)² + (3x - 8 - 2)² = 34 x² - 4x + 4 + 9x² - 60x + 100 = 34 10x² - 64x + 70 = 0 x = ^{(64 ± √1296)}/₂₀ = 4 ∨ 5 Dat zijn de punten (4, 4) en (5, 7)

2.	(x - 4)² + (y - 2)² = 10 lijn door de oorsprong: y = ax (x - 4)² + (ax - 2)² = 10 x² - 8x + 16 + a²x² - 4ax + 4 = 10 x²(1 + a²) - (4a + 8)x + 10 = 0 D = 0 want het moet raken: (4a + 8)² - 4(1 + a²) • 10 = 0 16a² + 64a + 64 - 40 - 40a² = 0 -24a² + 64a + 24 = 0 (ABC-formule): a = -¹/₃ ∨ a = 3


Snijpunt lijn-cirkel.

Vul de vergelijking van de lijn in bij de vergelijking van de cirkel. Dat geeft een kwadratische vergelijking die je op kunt lossen.

Voorbeeld. Bereken de snijpunten van de cirkel (x - 4)² + (y + 1)² = 8 met de lijn y = 2x - 15 Invullen: (x - 4)² + (2x - 15 + 1)² = 8 x² - 8x + 16 + 4x² - 56x + 196 = 8 5x² - 64x + 204 = 0 (ABC-formule) x = 6 ∨ x = 13,6 De snijpunten zijn (6, -3) en (13.6, 12.2)

Met een parameter. Als er ergens een parameter in de vergelijking van cirkel of lijn staat kun je met de discriminant van de kwadratische vergelijking er voor zorgen dat je nul, één of twee snijpunten krijgt. Voorbeeld. Voor welke p heeft de lijn y = 2x + p géén snijpunten met de cirkel x²+y² = 9? x²+ (2x + p)² = 9 x² + 4x² + 4xp + p² = 9 5x² + 4xp + p² - 9 = 0 D = (4p)² - 4 • 5 • (p² - 9) < 0 (géén snijpunten) 16p² - 20p² + 180 < 0 5p² > 180 p² > 36 p < -6 ∨ p > 6 (N.B. voor p = 6 of -6 raakt de lijn de cirkel).

Snijpunt van twee cirkels.

Beschouw de cirkelvergelijking als een stelsel van twee vergelijkingen. Werk de haakjes weg en trek de vergelijkingen van elkaar af. Dat geeft een nieuwe vergelijking zonder kwadraten. Met deze nieuwe vergelijking en één van beide cirkels kun je nu net als hierboven de snijpunten vinden.

Voorbeeld. c₁ heeft middelpunt (2, 3) en straal 4 c₂ heeft middelpunt (-3, 8) en straal 5 Bereken de snijpunten van deze cirkels. c₁: (x - 2)² + (y - 3)² = 16 ofwel x² - 4x + y² - 6y = 29 c₂: (x + 3)² + (y - 8)² = 25 ofwel x² + 6x + y² - 16y = 102 trek ze van elkaar af: -10x + 10y = -73 ofwel y = x - 7,3 invullen in c1: x² + 6x + (x - 6,9)² -16(x - 6,9) = 98 2x² - 23,8x + 60,01 = 0 nou kunnen we het verder wel.....