Nieuwe pagina 1


OPGAVEN



1.	Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel x² + y² + 4y = 54 in het punt (3, 5)

2.	De lijn y = -¹/₅x + p raakt de cirkel met middelpunt (4, 3) en straal √26. Bereken p.



OPLOSSING

1.	x² + y² + 4y = 54 x² + y² + 4y + 4 - 4 = 54 x² + (y + 2)² = 58 M = (0, -2) en de straal is √58 MR heeft helling ^{(5 - -2)}/_{(3 - 0)} = ⁷/₃ Dus de raaklijn heeft helling -³/₇ en gaat door (3, 5) 5 = -³/₇ • 3 + b geeft b = ⁴⁴/₇ De raaklijn is de lijn y = -³/₇x + ⁴⁴/₇

2.	De raaklijn heeft helling -¹/₅, dus MR heeft helling 5. MR is de lijn y = 5x - 17 De cirkel heeft vergelijking (x - 4)² + (y - 3)² = 26 (x - 4)² + (5x - 17 - 3)² = 26 x² - 8x + 16 + 25x² - 200x + 400 = 26 26x² - 208x + 390 = 0 x = ^{(208 ± √2704)}/₅₂ = 5 ∨ 3 x = 5 geeft raakpunt (5, 8) en dan is p = 9 x = 3 geeft raakpunt (3, -2) en dan is p = -⁷/₅

Raaklijn aan een cirkel.

De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht
op de lijn naar het middelpunt.

Raaklijn in een gegeven punt.
Bereken de helling van MR, dan weet je ook de helling van de raaklijn.

Voorbeeld:
Geef de raaklijn aan de cirkel met middelpunt (2, 3) en straal 5 in het punt (5, -1)
MR heeft helling ^{(3 - -1)}/_{(2 - 5)} = -⁴/₃ dus de raaklijn heeft helling ³/₄
Het is de lijn y = ³/₄x + b en die moet door (5, -1)
-1 = ³/₄ • 5 + b geeft b = -¹⁹/₄
De raaklijn is de lijn y = ³/₄x - ¹⁹/₄

Raaklijn met gegeven helling.
Als je de helling van de raaklijn weet, dan weet je ook de helling van MR. Snij de lijn door M met de cirkel en je vindt punt R.

Voorbeeld.
De lijn y = -x + p raakt de cirkel met middelpunt (1,4) en straal √8. Bereken p.
De helling van de raaklijn is -1, dus de helling van MR is 1
4 = 1 • 1 + b geeft b = 3 dus MR is de lijn y = x + 3
Snijden met de cirkel:
(x - 1)² + (y - 4)² = 8
(x - 1)² + (x + 3 - 4)² = 8
x² - 2x + 1 + x² - 2x + 1 = 8
2x² - 4x - 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 ∨ x = -1
x = 3 geeft raakpunt (3,6) en p = 9
x = -1 geeft raakpunt (-1, 2) en p = 1