Nieuwe pagina 1


OPGAVEN



1.	De primitieve van f(x) = x • cosx is F(x) = cosx + x • sinx. Toon dat aan.

2.	Een primitieve van f(x) = x • lnx is van de vorm F(x) = x² • (alnx + b) Bereken a en b.



OPLOSSING

1.	F(x) = cosx + x • sinx F '(x) = -sinx + 1 • sinx + x • cosx = xcosx q.e.d.

2.	F(x) = x² • (alnx + b) F ' = 2x • (alnx + b) + x² • ^a/_x = 2axlnx + 2bx + ax Dat moet gelijk zijn aan xlnx dan moet gelden 2a = 1 en 2b + a = 0 Dat geeft a = ¹/₂ en b = -¹/₄

Een primitieve aantonen.

Soms wordt een primitieve gegeven en moet je aantonen dat dat inderdaad de juiste primitieve is.
Dat gaat heel eenvoudig:

Differentieer de gegeven F en laat zien dat f er uitkomt.

Voorbeeld.
De primitieve van f(x) = x² • sinx is F(x) = 2x • sinx + (2 - x²) • cosx.
Toon dat aan.
Differentieer de laatste (met de productregel)
F ' = 2sinx + 2xcosx + -2xcosx + (2 - x²)•-sinx
F' = 2insx + 2xcosx - 2xcosx - 2sinx + x²sinx
F' = x²sinx
q.e.d.

Met een parameter.

Dat gaat het makkelijkst met een voorbeeld:
Toon aan dat de primitieve van f(x) = x²e^xte schrijven is als
F(x) = ax²e^x + bxe^x + ce^x

Ga weer die F differentiëren:
F '= 2axe^x + ax²e^x + be^x + bxe^x + ce^x
F' = e^x • (2ax + ax² + b + bx + c)
Dat tweede deel is gelijk aan x² als a = 1, b = -2 en c = 2