Nieuwe pagina 1


OPGAVEN



1.	Gegeven is de cirkel x² + 8x + y² - 2y = 40 Geef de coördinaten van het middelpunt en de straal.

2.	Gegeven is de cirkel x² + 4ax + y² - 6y = a² Voor welke a > 0 heeft deze cirkel straal 27?



OPLOSSING

1.	x² + 8x + y² - 2y = 40 x² + 8x + 16 - 16 + y² - 2y + 1 - 1 = 40 (x + 4)² + (y - 1)² = 57 M = (-4, 1) en r = √57

2.	x² + 4ax + y² - 6y = a² x² + 4ax + 4a² - 4a² + y² - 6y + 9 - 9 = a² (x + 2a)² + (y - 3)² = 5a² + 9 5a² + 9 = 27² = 729 5a² = 720 a² = 144 a = 12

Vergelijking Cirkel.

De vergelijking van een cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r ziet er zó uit:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Soms moet je een gegeven vergelijking eerst ombouwen om hem in deze vorm te krijgen. Dat gaat met "kwadraat afsplitsen"

Het heeft allemaal te maken met de volgende twee merkwaardige producten:
(x ± a)² = x² ± 2ax + a²
Die gaan we van rechts naar links gebruiken.

Stel dat er staat x² + 6x
Als je die 6 met 2a vergelijkt, dan is a = 3, en zou er dus +9 bij komen.
Nou dan zetten we dat er gewoon bij: x² + 6x + 9 - 9
En nou zijn die eerste drie termen precies (x + 3)²

Hier is een volledig voorbeeld:
x² + 6x + y² - 10y - 2 = 0
x² + 6x + 9 - 9 + y² - 10y + 25 - 25 - 2 = 0
(x + 3)² + (y - 5)² = 36
Dat is dus een cirkel met middelpunt (-3, 5) en straal 6.

Wat kan er fout gaan?
Als er in de eindvergelijking aan de rechterkant een negatief getal staat, dan bestaat de cirkel niet, immers r² kan nooit negatief zijn (ook bij nul zou het een cirkel met straal 0 zijn: een punt dus!)