Eigenlijk is dat hetzelfde als zeggen: "Er bestaan twee machten van drie waarvan het verschil deelbaar is door 1000".
Bekijk de serie  1, 3¹, 3², 3³, ..., 3¹⁰⁰⁰  die bestaat uit 1001 getallen.
Als je een getal deelt door 1000 zijn er 1000 mogelijke resten.
Volgens ons principe zijn er dus twee getallen uit de rij hierboven die de zelfde rest hebben bij delen door 1000. Dus de ene is  a • 1000 + r  en de andere b • 1000 + r
Het verschil van die twee is dan (a - b) • 1000 en dat is deelbaar door 1000.

Je ziet dat het getal 1000 niet eens nodig was; er zijn ook twee machten  van 3 waarvan het verschil deelbaar is door 4536 of 562 of 192837 of .....

Stap 2

Stel nu dat 3ⁿ en 3^m  een geheel aantal duizenden verschillen, dus dat 3ⁿ - 3^m deelbaar is door 1000.
3ⁿ - 3^m  = 3^m• (3^{n - m}) - 1 is deelbaar door 1000.
Mar de eerste factor  3^m is niet deelbaar door 1000 want heeft geen priemfactoren met 1000 gemeenschappelijk.
Dus moet de tweede factor wel deelbaar door 1000 zijn, en dus eindigt 3^{m - n} op 001.