| n7
- n is altijd deelbaar door 7? |
|
|
|
Laten we eerst proberen n7 - n te
ontbinden in factoren:
n7 - n =
n(n6 - 1) =
n(n3 - 1)(n3 + 1) =
n(n - 1)(n2 + n + 1)(n
+ 1)(n2 - n + 1)
Stel nu dat r de rest is van deling van n zelf
door 7. Dan kan r de waarden 0 tot en met 6 aannemen.
Nou; gewoon allemaal even langslopen dan maar:
|
|
|
|
r = 0 |
Dan is de factor n deelbaar
door 7, dus het geheel ook |
|
r = 1 |
Dan is de factor (n - 1)
deelbaar door 7, dus het geheel ook |
|
r = 2 |
Dan is n te schrijven als 7p
+ 2 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 2)2
+ (7p + 2) + 1 = 49p2 + 35p + 7
en dat is ook deelbaar door 7. |
|
r = 3 |
Dan is n te schrijven als 7p
+ 3 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 3)2
+ (7p + 3) + 1 = 49p2 + 35p + 7
en dat is ook deelbaar door 7. |
|
r = 4 |
Dan is n te schrijven als 7p
+ 4 en geldt:
(n2 + n + 1) = (7p + 4)2
+ (7p + 4) + 1 = 49p2 + 63p + 21
en dat is ook deelbaar door 7. |
|
r = 5 |
Dan is n te schrijven als 7p
+ 5 en geldt:
(n2 + n - 1) = (7p + 5)2
- (7p + 5) + 1 = 49p2 + 63p + 21
en dat is ook deelbaar door 7. |
|
r = 6 |
Dan is de factor n + 1
deelbaar door 7 |
|
|
| In alle gevallen is n7
- n dus deelbaar door 7. |
|
|