De formule van Cardano.

ax3 + bx2 + cx + d = 0

STAP 1.
Substitueer eerst  x = y - b/3a. Dat geeft:
Daarin zijn p en q de uitdrukkingen tussen de haakjes.
STAP 2.
Substitueer nu  y = r + s  en kies r en s z dat  3rs + p = 0. Dan geldt:
We vinden dus  r3 + s3 = -q  (voorwaarde 1)
Maar ook:
Dit laatste betekent,  samen met voorwaarde 1,  dat r3 en s3 de oplossingen zijn van een tweedegraads vergelijking:
Daarmee zijn r3 en s3 gevonden, en dus r en s, en dus y en dus x.
De hele Cardano-oplossing zou worden:
 
VOORBEELD 1
x3 + 3x2 - 9x - 27 = 0
geeft p = -9 - 3 = -12  en  q = 2 - - 9 - 27 = -16
dat levert r3 = 8 ofwel  r = 2 dus  s = 2
de oplossing is  x = 2 + 2 - 1 = 3
De andere oplossingen zijn op twee manieren te vinden:
1. Met de factorstelling.

x3 + 3x2 - 9x - 27 = (x - 3)(x2 + 6x + 9) = (x - 3)(x + 3)2. Dus de andere oplossing is  x = -3
     
2. Met complexe wortels.

r3 = 2 heeft de andere oplossingen  r2 = -1 + i√3  en  r3 = -1 - i√3
Dat geeft s2 = -p/3r2 = -1 - i√3   en  s3 = -1 + i√3
Dus  y2 = -1 + i√3 - 1 - i√3 = -2 en dus  x2 = -2 - 3/3 = -3 
en  y3 = -1 - i√3 - 1 + i√3 = -2 en dus x3 = -2 - 3/3 = -3
VOORBEELD 2
Soms heeft de r3-vergelijking alleen maar complexe wortels:
neem  bijv. x3 - 5x2 + 2x + 8 = 0
Dat geeft  p = -19/3  en  q = 56/27
Dus  r3 = -56/54 + 0,5√(-100/3)
r1 = 1,1666666 + 0,86602i
s1 = 1,1666666 - 0,86602i
x1 = 4
Daarna levert de factorstelling  x2 = 2 en x3 = -1

Meer oefenen kan met onderstaand Cardano-apparaat. Het geeft de rele n complexe wortels van een derdegraadsvergelijking. Het antwoord wordt in wetenschappelijke notatie gegeven.



Vul eerst hier een getal in, en click daarna op de plaats van dat getal in onderstaande vergelijking: ( + * i) * X3 + ( + * i) * X2 + ( + * i) * X + ( + * i) = 0 Oplossing 1: + * i Oplossing 2: + * i Oplossing 3: + * i