We hoeven de stelling alleen maar voor niet-negatieve n te bewijzen, immers als we dat gedaan hebben hoeven we bij een negatieve n alleen maar alle tekens van de bijbehorende positieve n om te draaien.

Nou gaan de eerste vier natuurlijke getallen met een beetje dom proberen wel:

0 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72
1 = 12
2 = -12 - 22 - 32 + 42
3 = -12 + 22
Maar het getal 4 kan ik schrijven als  4 = (k + 1)2 - (k + 2)2 - (k + 3)2 + (k + 4)2
Vraag me niet hoe ik eraan kwam, het schoot me zomaar te binnen.
Dus kan ik, als ik n op de juiste manier met kwadraten heb geschreven, ook n + 4 met kwadraten schrijven, namelijk gewoon door er zo'n k - rijtje achteraan te plakken.
Dat geeft bijvoorbeeld:

4 = 0 + 4 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72 + 82 - 92 - 102 + 112     (k = 7)
5 = 1 + 4 = 12 + 22 - 32 - 42 + 52   (k = 1)
6 = 2 + 4 = -12 - 22 - 32 + 42 + 52 - 62 - 72 + 82   (k = 4)
7 = -12 + 22 + 32 - 42 - 52 + 62   (k = 2)
8 = 4 + 4 = 12 + 22 - 32 + 42 - 52 - 62 + 72 + 82 - 92 - 102 + 112  + 122 - 132 - 142 + 152   (k = 10)
enz.
Goed, nu hebben we bewezen dat we elk getal als rijtje kwadraten kunnen schrijven.
Maar nu nog het bewijs dat dat op oneindig veel verschillende manieren kan.
Dat gaat op dezelfde manier door te beseffen dat:

0 = 4 - 4 = (k + 1)2 - (k + 2)2 - (k + 3)2 - (k + 4)2 - (k + 5)2 + (k + 6)2 + (k + 7)2 - (k + 8)2

Dus door achter een gevonden rijtje dit rijtje van 8 extra kwadraten te zetten hebben we wéér een oplossing. En dat gaat zo maar door.....