Stel dat er n + 1 spelers zijn, dan speelt iedereen n partijen en geldt logischerwijze Wk = n - Vk
 
W12 + W22 + W32 + .... = (n - V1)2 + (n - V2)2 + (n- V3)2 + ....
= (n2 - 2nV1 + V12) + (n2 - 2nV2 + V22) + (n2 - 2nV3 + V32) + ...
= (n + 1)n2 - 2n (V1 + V2 + V3 + ...) + (V12 + V22 + V32 + ... )

maar V1 + V2 + V3 + ... is gelijk aan het totaal aantal wedstrijden, immers elke wedstrijd levert een verliezer op.
De eerste speler speelt n wedstrijden, de tweede speler n - 1 nieuwe (zijn wedstrijd tegen nummer 1 is al geteld), de derde speler nog (n - 2) nieuwen enzovoort.

Dat levert in totaal  n + (n-1) + (n -2) + .... + 1 wedstrijden op en volgens de formule van Gauss is dat  1/2 n (n +1).
Invullen in bovenstaande formule geeft:
W12 + W22 + W32 + .... = (n + 1)n2 - 2n 1/2 n (n + 1) + (V12 + V22 + V32 + ... )
= V12 + V22 + V32 + ...